Мотивация
Основные определения
Дифференциальные уравнения в частных производных I-ого порядка
Дифференциальные уравнения в частных производных II-ого порядка
Практические примеры
Вопросы к экзамену
Система тестирования
Журнал успеваемости

МОТИВАЦИЯ


Большинство физических законов природы можно сформулировать на языке уравнений с частными производными. Во всех уравнениях, описывающих физические явления, эти описания происходят на языке пространственных и временных производных. Так что же такое уравнения с частными производными?

В отличие от ОДУ, в которых неизвестная функция зависит от одной переменной, в уравнениях с частными производными неизвестная функция зависит от нескольких переменных (например, температура u(t,x,y) зависит от координат x и y и времени t).

Для простоты будем использовать следующие упрощения:

Вот некоторые примеры уравнений с частными производными:

В этих примерах функция u зависит от более чем одной переменной. Переменная u, которую мы дифференцируем, называется зависимой переменной, а переменные, по которым мы дифференцируем, называются независимыми переменами.

В примерах u – зависимая, x,y,t – независимые.

Вернемся к важности ДУ в ЧП. Пространственные и временные производные появляются в уравнениях физических явлений, так как они описывают важнейшие физические величины (скорость, ускорение, сила, трение, поток, и т.д.)

Цель нашего курса научиться формулировать физическую задачу в виде уравнения с частными производными (построение математической модели)и научиться решать эти уравнения. Усвоение этого курса подразумевает хорошее владение математической теорией и физикой.

Вторая каноническая форма уравнения гиперболического типа
Вторая формула Грина
Гармоническая функция
Дивергенция векторного поля
Дифференциальное уравнение в частных производных
Задача Дирихле
Задача Коши
Задача Коши (квазилин.д.у.)
Задача Коши (лин.д.у.)
Задача Неймана
Задача Штурма-Лиувилля
Изображение функции
Интеграл системы
Интегральное преобразование по переменной
Каноническая форма уравнения параболического типа
Каноническая форма уравнения эллиптического типа
Квазилинейное уравнение
Краевая задача
Леммы о свойствах решений уравнений колебаний, определенных на бесконечной области
Линейное уравнение
Начальные условия
Независимые интегралы
Неоднородное дифференциальное уравнение
Обобщенный принцип суперпозиции
Обратное преобразование
Обратное преобразование Фурье
Общее решение системы
Общий интеграл
Объемный потенциал
Однородное дифференциальное уравнение
Оригинал функции
Основная формула Грина
Первая каноническая форма уравнения гиперболического типа
Первая формула Грина
Первый интеграл системы
Порядок уравнения с частной производной
Потенциал двойного слоя
Поток векторного поля
Принцип максимального значения
Принцип максимального(минимального) значения(для гармонических функций)
Прямое преобразование Фурье
Решение дифференциального уравнения в частных производных
Свойства задачи Штурма-Лиувилля
Свойства преобразования Фурье
Смешанная задача
Теорема Ковалевской
Теорема единственности решения краевых задач для волнового уравнения
Теорема о выражении общего решения
Теорема о потоке
Теорема среднего значения
Теорема устойчивости 1-ой краевой задачи для волного уравнения
Теорема устойчивости решения задачи Коши
Тепловой импульс
Третья формула Грина
Уравнение Лапласа
Уравнение Пуассона
Уравнение гиперболического типа
Уравнение колебанний струны
Уравнение параболического типа
Уравнение теплопроводноси для однородной среды
Уравнение теплопроводности
Уравнение эллиптического типа
Формула Даламбера
Формула Пуассона
Фундаментальное решение Уравнения Лапласа в пространстве
Фундаментальное решение Уравнения Лапласа на плоскости
Функция ограниченного изменения
Характеристика
Характеристическая система